Задание 70. Найдите угол х, используя данные рисунка. A. 9)

Решение:

NK и KT - касательные к окружности. \(PN = PT\) (радиусы). \(\triangle PNT\) - равнобедренный. \(\angle NKT = α\). \(\angle NTK = α\).

Угол \(x\) - это \(\angle NPT\).

\(\angle KNT = 35^\circ\). \(\angle KTN = 35^\circ\). Это углы при основании KT в равнобедренном \(\triangle NKT\). Но NT - хорда, а KT - касательная.

\(\angle NKT\) и \(\angle KTN\) - это углы, образованные касательными.

NK и KT - касательные. \(\angle NKP = α\). \(\angle KTP = α\).

\(\angle KNT = 35^\circ\) и \(\angle KTN = 35^\circ\).

Угол \(x\) - это \(\angle NPT\).

\(\angle KNT = 35^\circ\). \(\angle PTN = 35^\circ\).

\(PN = PT\) (радиусы). \(\triangle PNT\) - равнобедренный. \(\angle PNT = β\). \(\angle PTN = β\).

\(x + 2β = 180^\circ\).

\(\angle KNT = 35^\circ\). \(\angle PNT = β\). \(\angle KNP = 35 + β\).

\(\angle KTN = 35^\circ\). \(\angle PTN = β\). \(\angle KTP = 35 + β\).

NK и KT - касательные. \(\angle NKP = α\). \(\angle KTP = α\).

\(\angle NKT = 35^\circ\). \(\angle KTN = 35^\circ\).

NK = KT (отрезки касательных, проведенных из одной точки).

\(\triangle NKT\) - равнобедренный. \(\angle KNT = α\). \(\angle KTN = α\).

\(35 + 35 + 2α = 180 \rightarrow 70 + 2α = 180 \rightarrow 2α = 110 \rightarrow α = 55^\circ\).

\(x = \angle NPT\).

\(PN = PT\) (радиусы). \(\triangle PNT\) - равнобедренный.

\(\angle PNT = 35^\circ\). \(\angle PTN = 35^\circ\).

\(x + 35^\circ + 35^\circ = 180^\circ \rightarrow x + 70^\circ = 180^\circ \rightarrow x = 110^\circ\).

Ответ: 110°.