Задание 8. Постройте ряд распределения и вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа выпавших очков при однократном броске кубика.

Решение:

При однократном броске кубика возможны следующие исходы (число выпавших очков): 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность каждого исхода равна 1/6.

1. Ряд распределения:

2. Математическое ожидание (E(X)):

E(X) = ∑ (X_i * P_i)

E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6)

E(X) = (1/6) * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

E(X) = (1/6) * 21

E(X) = 3.5

3. Дисперсия (D(X)):

D(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Сначала найдем E(X^2):

E(X^2) = ∑ (X_i^2 * P_i)

E(X^2) = (1^2 * 1/6) + (2^2 * 1/6) + (3^2 * 1/6) + (4^2 * 1/6) + (5^2 * 1/6) + (6^2 * 1/6)

E(X^2) = (1/6) * (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)

E(X^2) = (1/6) * 91

E(X^2) = 91/6 ≈ 15.1667

Теперь вычислим D(X):

D(X) = 91/6 - (3.5)^2

D(X) = 91/6 - 12.25

D(X) = 91/6 - 49/4

D(X) = (182 - 147) / 12

D(X) = 35/12 ≈ 2.9167

4. Среднее квадратичное отклонение (σ(X)):

σ(X) = √ D(X)

σ(X) = √ (35/12)

σ(X) ≈ √ 2.9167 ≈ 1.7078

Ответ:

• Ряд распределения представлен в таблице выше.
• Математическое ожидание: 3.5
• Дисперсия: 35/12 (≈ 2.9167)
• Среднее квадратичное отклонение: ≈ 1.7078