Задание 8. Робот может передвигаться по линиям сетки только вправо или вверх. Сколько способами он может пройти из точки A в точку B, не проходя по участку, отмеченному на рисунке жирной линией?

На сетке нужно сделать 5 шагов вправо и 3 шага вверх. Всего таких маршрутов \(\binom{8}{3}=56\).

Жирный участок — горизонтальное ребро на одну клетку вправо от точки с координатами (2, 1) до точки (3, 1), если считать A за (0, 0). Маршрутов, проходящих через него: до его левого конца можно добраться \(\binom{3}{1}=3\) способами, а от правого конца до B — \(\binom{4}{2}=6\) способами. Значит, через запрещённый участок проходят \(3\cdot6=18\) маршрутов.

Исключаем их: \(56-18=38\).

Ответ: 38 способов.