Задание 9. Решить неравенство

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Рассмотрим каждое неравенство:

1) \( 1 - x^{2} - 121 < 0 \)

1. Упрощаем: \( -x^{2} - 120 < 0 \)
2. Умножаем на -1, меняя знак неравенства: \( x^{2} + 120 > 0 \)
3. Квадрат любого действительного числа \( x^{2} \) неотрицателен. Следовательно, \( x^{2} + 120 \) всегда больше 0.

Решение: \( (-\infty;+\infty) \) (все действительные числа).

2) \( 7x + x^{2} > 0 \)

1. Выносим \( x \) за скобки: \( x(7 + x) > 0 \)
2. Находим корни: \( x = 0 \) и \( x = -7 \).
3. Методом интервалов определяем знаки:

• (-\infty, -7): +
• (-7, 0): -
• (0, +\infty): +

Решение: \( (-\infty; -7) \cup (0; +\infty) \).

3) \( x^{2} + 4x \le 32 \)

1. Переносим 32 влево: \( x^{2} + 4x - 32 \le 0 \)
2. Находим корни квадратного уравнения \( x^{2} + 4x - 32 = 0 \) с помощью дискриминанта:
   \( D = 4^{2} - 4(1)(-32) = 16 + 128 = 144 \)
   \( \sqrt{D} = 12 \)
   \( x_{1} = \frac{-4 - 12}{2} = -8 \)
   \( x_{2} = \frac{-4 + 12}{2} = 4 \)
3. Парабола \( y = x^{2} + 4x - 32 \) ветвями вверх, поэтому \( \le 0 \) между корнями.

Решение: \( [-8; 4] \).

4) \( -4x^{2} + 3x + 1 < 0 \)

1. Умножаем на -1, меняя знак неравенства: \( 4x^{2} - 3x - 1 > 0 \)
2. Находим корни квадратного уравнения \( 4x^{2} - 3x - 1 = 0 \) с помощью дискриминанта:
   \( D = (-3)^{2} - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25 \)
   \( \sqrt{D} = 5 \)
   \( x_{1} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -0.25 \)
   \( x_{2} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 \)
3. Парабола \( y = 4x^{2} - 3x - 1 \) ветвями вверх, поэтому \( > 0 \) вне корней.

Решение: \( (-\infty; -0.25) \cup (1; +\infty) \).