ЗАДАНИЕ №5 Дана линейная функция (y = kx – 3). При каком значении (k) график этой функции проходит через точку пересечения графиков функций (y = 5 + x) и (y = 13 - x^2)?

Сначала найдем точку пересечения графиков функций (y = 5 + x) и (y = 13 - x^2). Для этого приравняем правые части уравнений: $$5 + x = 13 - x^2$$ $$x^2 + x - 8 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения (x^2 + x - 8 = 0) через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-8) = 1 + 32 = 33$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{33}}{2}$$ Теперь найдем соответствующие значения y: $$y_1 = 5 + x_1 = 5 + \frac{-1 + \sqrt{33}}{2} = \frac{10 - 1 + \sqrt{33}}{2} = \frac{9 + \sqrt{33}}{2}$$ $$y_2 = 5 + x_2 = 5 + \frac{-1 - \sqrt{33}}{2} = \frac{10 - 1 - \sqrt{33}}{2} = \frac{9 - \sqrt{33}}{2}$$ Теперь, чтобы найти k, подставим найденные значения x и y в уравнение (y = kx - 3). Сначала для первой точки ((x_1, y_1)): $$\frac{9 + \sqrt{33}}{2} = k \cdot \frac{-1 + \sqrt{33}}{2} - 3$$ $$\frac{9 + \sqrt{33}}{2} + 3 = k \cdot \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}$$ $$\frac{9 + \sqrt{33} + 6}{2} = k \cdot \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}$$ $$\frac{15 + \sqrt{33}}{2} = k \cdot \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}$$ $$k = \frac{15 + \sqrt{33}}{-1 + \sqrt{33}} = \frac{(15 + \sqrt{33})(\sqrt{33} + 1)}{(\sqrt{33} - 1)(\sqrt{33} + 1)} = \frac{15\sqrt{33} + 15 + 33 + \sqrt{33}}{33 - 1} = \frac{16\sqrt{33} + 48}{32} = \frac{\sqrt{33} + 3}{2}$$ Теперь для второй точки ((x_2, y_2)): $$\frac{9 - \sqrt{33}}{2} = k \cdot \frac{-1 - \sqrt{33}}{2} - 3$$ $$\frac{9 - \sqrt{33}}{2} + 3 = k \cdot \frac{-1 - \sqrt{33}}{2}$$ $$\frac{9 - \sqrt{33} + 6}{2} = k \cdot \frac{-1 - \sqrt{33}}{2}$$ $$\frac{15 - \sqrt{33}}{2} = k \cdot \frac{-1 - \sqrt{33}}{2}$$ $$k = \frac{15 - \sqrt{33}}{-1 - \sqrt{33}} = \frac{(15 - \sqrt{33})(-1 + \sqrt{33})}{(-1 - \sqrt{33})(-1 + \sqrt{33})} = \frac{-15 + 15\sqrt{33} + \sqrt{33}\cdot33 - 33}{1 - 33} = \frac{-48 + 16\sqrt{33}}{-32} = \frac{-3 + \sqrt{33}}{-2} = \frac{3 - \sqrt{33}}{2}$$ **Ответ: k = \frac{\sqrt{33} + 3}{2} или k = \frac{3 - \sqrt{33}}{2}**