ЗАДАНИЕ №7 Найдите наибольшее значение дроби $$\frac{5}{(t-4)^2+1}$$.

Чтобы дробь $$\frac{5}{(t-4)^2+1}$$ принимала наибольшее значение, её знаменатель $$(t-4)^2+1$$ должен быть наименьшим. Так как $$(t-4)^2$$ всегда неотрицательно, наименьшее значение $$(t-4)^2$$ равно 0. Это достигается, когда $$t-4 = 0$$, то есть $$t = 4$$.

Тогда, при $$t=4$$, знаменатель равен $$(4-4)^2+1 = 0+1 = 1$$, и дробь равна $$\frac{5}{1} = 5$$. При любом другом значении $$t$$, $$(t-4)^2 > 0$$, и знаменатель будет больше 1, а значит, дробь будет меньше 5.

Ответ: Наибольшее значение дроби равно 5.