Задание 1: Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника $$ABC$$, в котором $$AB = BC$$, а \(\angle ABC = 121^\circ\). Найдите угол \(\angle BOC\). Ответ дайте в градусах.

Решение: Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный с $$AB = BC$$, то углы при основании $$AC$$ равны, то есть \(\angle BAC = \angle BCA\). Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому: \[\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ\] \[\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - \angle ABC\] \[\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - 121^\circ = 59^\circ\] Так как \(\angle BAC = \angle BCA\), то \[2 \cdot \angle BAC = 59^\circ\] \[\angle BAC = \frac{59^\circ}{2} = 29.5^\circ\] Угол \(\angle BAC) – вписанный угол, опирающийся на дугу $$BC$$. Центральный угол \(\angle BOC\) опирается на ту же дугу, поэтому он в два раза больше вписанного угла: \[\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 29.5^\circ = 59^\circ\] Ответ: 59