Задание 8: Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 24. Найдите высоту этого треугольника.

Решение: Пусть дан равносторонний треугольник $$ABC$$ со стороной $$a$$, описанный около окружности радиуса $$R = 24$$. Высота $$h$$ равностороннего треугольника связана со стороной $$a$$ следующим образом: \[h = \frac{a \sqrt{3}}{2}\] Центр окружности, описанной около равностороннего треугольника, является точкой пересечения медиан, которые делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности $$R$$ равен \(\frac{2}{3}\) высоты $$h$$: \[R = \frac{2}{3} h\] Выразим высоту $$h$$ через радиус $$R$$: \[h = \frac{3}{2} R\] Подставим значение $$R = 24$$: \[h = \frac{3}{2} \cdot 24 = 3 \cdot 12 = 36\] Ответ: 36