ЗАДАНИЕ №3 Решите уравнение: \[\frac{1}{2x - 7} + \frac{1}{x - 3} = 2.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Для решения уравнения \(\frac{1}{2x - 7} + \frac{1}{x - 3} = 2\), приведем дроби к общему знаменателю: \[\frac{1(x - 3) + 1(2x - 7)}{(2x - 7)(x - 3)} = 2\] \[\frac{x - 3 + 2x - 7}{(2x - 7)(x - 3)} = 2\] \[\frac{3x - 10}{2x^2 - 6x - 7x + 21} = 2\] \[\frac{3x - 10}{2x^2 - 13x + 21} = 2\] Умножим обе части уравнения на \(2x^2 - 13x + 21\): \[3x - 10 = 2(2x^2 - 13x + 21)\] \[3x - 10 = 4x^2 - 26x + 42\] Перенесем все члены в правую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение: \[4x^2 - 26x - 3x + 42 + 10 = 0\] \[4x^2 - 29x + 52 = 0\] Теперь решим квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант \(D\): \[D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4(4)(52) = 841 - 832 = 9\] Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два корня: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + \sqrt{9}}{2(4)} = \frac{29 + 3}{8} = \frac{32}{8} = 4\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - \sqrt{9}}{2(4)} = \frac{29 - 3}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} = 3.25\] Оба корня должны быть проверены на то, что они не обращают знаменатели исходного уравнения в нуль. Если \(x = 4\), то \(2x - 7 = 2(4) - 7 = 8 - 7 = 1
eq 0\) и \(x - 3 = 4 - 3 = 1
eq 0\). Если \(x = 3.25\), то \(2x - 7 = 2(3.25) - 7 = 6.5 - 7 = -0.5
eq 0\) и \(x - 3 = 3.25 - 3 = 0.25
eq 0\). Оба корня допустимы. Поскольку требуется указать меньший корень, то выбираем \(x = 3.25\). Ответ: 3.25