ЗАДАНИЕ №7 В треугольнике ABC угол B равен 57°, AD, BE и CF – высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF.

В треугольнике (ABC) угол (B = 57^circ). (AD), (BE), и (CF) – высоты, пересекающиеся в точке (O). Нужно найти угол (AOF). Рассмотрим четырехугольник (CDOE). Углы (CDO) и (CEO) прямые (так как (AD) и (BE) - высоты). Следовательно, сумма углов (CDOE) равна (360^circ), а сумма углов (DOE) и (DCE) равна (180^circ). Угол (DCE) равен углу (C) треугольника (ABC). Значит, угол (DOE = 180^circ - C). Угол (AOF) равен углу (DOE) как вертикальные углы. Следовательно, (AOF = 180^circ - C). Угол (C = 180^circ - A - B). Значит, (AOF = 180^circ - (180^circ - A - B) = A + B). В прямоугольном треугольнике (ADC), угол (DAC = 90 - С). Поскольку, нам дано, что угол B = 57, найдем угол А: A = 90 - 57 = 33 Угол (AOF = 180 - (90-B)= 90 + B = 90+57= 147 ). ОШИБКА! угол DAC не 90-С, a 90-А! Угол B равен 57 градусам, надо найти угол АOF. Угол AOF = углу DOC как вертикальные. Угол DОС является внешним для треугольника ВОС. Значит угол DOC= углу DBC + углу BCD. DBC - это угол между ВЕ и ВС, значит угол 90 - С. BCD - это угол между CF и BC, значит угол 90 -А. Итого, угол DOC = (90-C) + (90 - A) = 180 - (A+C)=180 -( 180 - B) = B. Следовательно угол AOF = углу DOC = углу B = 57 Ищем другой способ. Угол АОF и угол EOF смежные, значит, их сумма 180. Найдем угол ЕOF. Угол EOF и угол С равны. Значит, угол AOF = 180 - С. В треугольнике АВС: А+В+С=180, отсюда С= 180-А-В. И подставим в AOF = 180 - C= 180 -(180-А-В) = А+В. A=90-57=33. AOF= 33+57=90 Ответ: 90°