Задания практической работы Уровень А. Из точки М проведен перпендикуляр к плоскости прямоугольника АВСД (рис. 3). Найдите расстояние от М до сторон прямоугольника АВСД, если известно, что МВ = 6см, ВС = 8см, АВ = 4 см.

Для решения задачи необходимо найти расстояние от точки М до плоскости прямоугольника АВСД. Обозначим точку пересечения перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость АВСД, через О. Тогда МО будет перпендикулярно плоскости АВСД, и треугольники, образованные отрезками от М до вершин прямоугольника, будут прямоугольными.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник МВО. По теореме Пифагора:

$$MB^2 = MO^2 + OB^2$$

$$6^2 = MO^2 + OB^2$$

$$36 = MO^2 + OB^2$$

2. На рисунке видно, что AB = 4 см и BC = 8 см. Поскольку ABCD - прямоугольник, то углы ABC, BCD, CDA и DAB - прямые. Точка O - проекция точки M на плоскость ABCD. В задании требуется найти расстояние от точки M до сторон прямоугольника ABCD, а не до его вершин.

3. Расстояние от точки M до стороны AB - это длина перпендикуляра, опущенного из точки M на сторону AB. Обозначим эту точку как K. Тогда MK - искомое расстояние.

4. Треугольник MKB - прямоугольный, и MK > MB (6 см).

По рисунку видно, что точка О лежит вне прямоугольника АВСД. Расстояние от точки М до стороны АВ будет равно длине отрезка MA. Расстояние от точки М до стороны ВС будет равно длине отрезка МС.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник MBA. По теореме Пифагора:

$$MA^2 = MB^2 + AB^2$$

$$MA^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$$

$$MA = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

$$MA \approx 7.21 \text{ см}$$

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник MBC. По теореме Пифагора:

$$MC^2 = MB^2 + BC^2$$

$$MC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$

$$MC = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Ответ: Расстояние от точки M до стороны AB равно $$2\sqrt{13} \approx 7.21 \text{ см}$$, расстояние от точки M до стороны BC равно $$10 \text{ см}$$.