Заду мали трёхзначное число, которое делится на 37 и последняя цифра которого в 2 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 300. Какое число было задумано?

Пошаговое решение:

• Пусть искомое число имеет вид \( \overline{abc} \), где \( a \), \( b \), \( c \) — цифры.
• Тогда \( c = \frac{a}{2} \), то есть \( a \) может быть только четным числом.
• Составим число, обратное данному: \( \overline{cba} \). Разность между числами: \( \overline{abc} - \overline{cba} > 300 \).
• Тогда \( (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a - c) > 300 \).
• То есть \( a - c > \frac{300}{99} \approx 3.03 \).
• Если \( a = 8 \), то \( c = 4 \). Тогда \( a - c = 8 - 4 = 4 > 3.03 \).
• Число имеет вид \( \overline{8b4} \). Подберем число \( b \) так, чтобы \( \overline{8b4} \) делилось на 37.
• Числа, кратные 37: 37, 74, 111, 148, 185, 222, 259, 296, 333, 370, 407, 444, 481, 518, 555, 592, 629, 666, 703, 740, 777, 814, 851, 888, 925, 962.
• Среди этих чисел 814 — подходит, так как делится на 37.

Ответ: Задумано число 814.