17. Задумали чётное трёхзначное число, которое больше 700, делится на 23 и последняя цифра которого не равна 0. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 396. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число имеет вид $$\overline{abc}$$, где $$a, b, c$$ - цифры, причем $$a > 7$$ и $$c$$ - четная цифра, не равная 0. Тогда число, записанное в обратном порядке, имеет вид $$\overline{cba}$$. Из условия задачи: $$\overline{abc} - \overline{cba} = 396$$ $$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 396$$ $$99a - 99c = 396$$ $$99(a - c) = 396$$ $$a - c = 4$$ $$a = c + 4$$ Так как число $$\overline{abc}$$ делится на 23, переберем возможные значения числа, начиная с 700. Поскольку $$a > 7$$, рассмотрим варианты: 7xx, 8xx, 9xx. По условию число должно быть больше 700 и делиться на 23. Числа, которые больше 700 и делятся на 23: 713, 736, 759, 782, 805, 828, 851, 874, 897, 920, 943, 966, 989. Так как $$c$$ - четная цифра, а $$a = c + 4$$, рассмотрим числа с четной последней цифрой: 736, 782, 828, 874, 920, 966. Проверим условие $$a = c + 4$$: * 736: $$a = 7$$, $$c = 6$$, $$7
eq 6 + 4$$ * 782: $$a = 7$$, $$c = 2$$, $$7
eq 2 + 4$$ * 828: $$a = 8$$, $$c = 8$$, $$8
eq 8 + 4$$ * 874: $$a = 8$$, $$c = 4$$, $$8 = 4 + 4$$. Подходит! * 920: $$a = 9$$, $$c = 0$$, $$9
eq 0 + 4$$ * 966: $$a = 9$$, $$c = 6$$, $$9
eq 6 + 4$$ Значит, $$\overline{abc} = 874$$. Проверим, что при вычитании числа в обратном порядке получается 396: $$874 - 478 = 396$$. Условие выполняется. Ответ: 874