10.9 Записать уравнение окружности диаметром ММ, если: 1) М (0; -6), N (8; 8); 2) M (-10; 4), N (6; 0);

Решение:

1) M(0; -6), N(8; 8). Центр окружности является серединой диаметра MN, найдем его координаты:

\[x_O = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{0 + 8}{2} = 4\]

\[y_O = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{-6 + 8}{2} = 1\]

Центр O(4; 1). Радиус равен половине длины диаметра, найдем длину диаметра:

\[MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(8 - 0)^2 + (8 - (-6))^2} = \sqrt{8^2 + 14^2} = \sqrt{64 + 196} = \sqrt{260}\]

Тогда радиус:

\[R = \frac{MN}{2} = \frac{\sqrt{260}}{2}\]

Уравнение окружности:

\[(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = \left(\frac{\sqrt{260}}{2}\right)^2\]

\[(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = \frac{260}{4} = 65\]

2) M(-10; 4), N(6; 0). Центр окружности является серединой диаметра MN, найдем его координаты:

\[x_O = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{-10 + 6}{2} = -2\]

\[y_O = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{4 + 0}{2} = 2\]

Центр O(-2; 2). Радиус равен половине длины диаметра, найдем длину диаметра:

\[MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(6 - (-10))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{16^2 + (-4)^2} = \sqrt{256 + 16} = \sqrt{272}\]

Тогда радиус:

\[R = \frac{MN}{2} = \frac{\sqrt{272}}{2}\]

Уравнение окружности:

\[(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = \left(\frac{\sqrt{272}}{2}\right)^2\]

\[(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = \frac{272}{4} = 68\]