Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки $$M_1(7, -3, -5)$$ и $$M_2(14, -7, -10)$$ перпендикулярно плоскости $$6x + y + z + 1 = 0$$. Уравнение плоскости запишите в виде $$x + By + Cz + D = 0$$. В ответ через точку с запятой введите значения: $$B; C; D$$

Для начала найдем вектор $$\vec{M_1M_2} = (14-7, -7-(-3), -10-(-5)) = (7, -4, -5)$$. Нормаль к плоскости $$6x + y + z + 1 = 0$$ это вектор $$\vec{n} = (6, 1, 1)$$. Искомая плоскость перпендикулярна заданной, поэтому вектор $$\vec{n}$$ лежит в искомой плоскости. Векторное произведение $$\vec{M_1M_2}$$ и $$\vec{n}$$ даст нормаль к искомой плоскости. $$\vec{N} = \vec{M_1M_2} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7 & -4 & -5 \\ 6 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(-4 + 5) - \vec{j}(7 + 30) + \vec{k}(7 + 24) = (1, -37, 31)$$ Тогда уравнение плоскости имеет вид: $$1(x - 7) - 37(y + 3) + 31(z + 5) = 0$$. $$x - 7 - 37y - 111 + 31z + 155 = 0$$ $$x - 37y + 31z + 37 = 0$$ Преобразуем уравнение к виду $$x + By + Cz + D = 0$$, получим $$B = -37$$, $$C = 31$$, $$D = 37$$. Ответ: -37; 31; 37