Завдання 3 (26) Поясніть, чому АС ⊥ МС?

Розв'язання:

Дано, що \( MB \perp (ABC) \), це означає, що пряма \( MB \) перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині \( ABC \) і проходить через точку \( B \). Зокрема, \( MB \perp BC \) та \( MB \perp AB \) та \( MB \perp AC \).

Також дано, що \( \triangle ABC \) — прямокутний трикутник з \( \angle BCA = 90^{\circ} \). Це означає, що \( BC \perp AC \).

Ми маємо дві прямі \( AC \) та \( MC \), які перетинаються в точці \( C \). Щоб довести, що \( AC \perp MC \), нам потрібно знайти ще одну пряму, яка перпендикулярна до \( AC \) і проходить через \( C \).

Розглянемо площину \( MBC \). Оскільки \( MB \perp BC \) (з \( MB \perp (ABC) \)), то \( \triangle MBC \) є прямокутним трикутником з \( \angle MBC = 90^{\circ} \).

Розглянемо пряму \( AC \). Ми знаємо, що \( AC \perp BC \) (оскільки \( \angle BCA = 90^{\circ} \)) і \( AC \perp MB \) (оскільки \( MB \perp (ABC) \)).

Оскільки пряма \( AC \) перпендикулярна до двох прямих \( BC \) та \( MB \), які перетинаються в площині \( MBC \) і проходять через точку \( C \), то за ознакою перпендикулярності прямої і площини, пряма \( AC \) перпендикулярна до площини \( MBC \).

Якщо пряма \( AC \) перпендикулярна до площини \( MBC \), то вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині і проходить через точку \( C \). Зокрема, \( AC \perp MC \).

Висновок: Пряма \( AC \) перпендикулярна до прямої \( BC \) (оскільки \( \angle BCA = 90^{\circ} \)) і до прямої \( MB \) (оскільки \( MB \perp (ABC) \)). Оскільки \( BC \) та \( MB \) — це дві пересічні прямі в площині \( MBC \), то \( AC \) перпендикулярна до площини \( MBC \), а отже, \( AC \perp MC \).

Відповідь: AC ⊥ MC, оскільки AC ⊥ BC і AC ⊥ MB, а BC та MB перетинаються в площині MBC.