Завдання 5 (36) Знайдіть довжину похилої КО, якщо ABCD – ромб, КВ ⊥ (АВС), SABCD = 20 см, АС = 8 см, КВ = 5 см.

Розв'язання:

Дано:

• ABCD – ромб
• \( KB \perp (ABC) \)
• \( S_{ABCD} = 20 \) см²
• \( AC = 8 \) см
• \( KB = 5 \) см

Знайти:

• Довжину похилої \( KO \)

Крок 1: Знайти довжину другої діагоналі ромба (BD).

Площа ромба обчислюється за формулою: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \), де \( d_1 \) і \( d_2 \) — діагоналі ромба.

\( 20 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \)

\( 20 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot BD \)

\( 20 = 4 \cdot BD \)

\( BD = \frac{20}{4} \)

\( BD = 5 \) см

Крок 2: Знайти довжину відрізка \( BO \).

Діагоналі ромба перетинаються в точці \( O \) і діляться навпіл, а також перпендикулярні одна одній.

\( BO = \frac{1}{2} BD \)

\( BO = \frac{1}{2} · 5 \)

\( BO = 2.5 \) см

Крок 3: Знайти довжину похилої \( KO \).

Оскільки \( KB \perp (ABC) \), то \( KB \) перпендикулярна до будь-якої прямої в площині \( ABC \), що проходить через \( B \). Зокрема, \( KB \perp BO \). Тому \( \triangle KBO \) — прямокутний трикутник з прямим кутом \( \angle KBO = 90^{\circ} \).

Застосуємо теорему Піфагора до \( \triangle KBO \):

\( KO^2 = KB^2 + BO^2 \)

\( KO^2 = 5^2 + (2.5)^2 \)

\( KO^2 = 25 + 6.25 \)

\( KO^2 = 31.25 \)

\( KO = \sqrt{31.25} \)

\( KO = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 5}}{2} = \frac{5\sqrt{5}}{2} \) см

\( KO \approx 5.59 \) см

Відповідь: Довжина похилої КО дорівнює \( \frac{5\sqrt{5}}{2} \) см (або приблизно 5.59 см).