Завдання 4 (36) З точки А до площини а проведені перпендикуляр АО довжиною 12 см і похила АВ довжиною 13 см. Знайдіть довжину проекції похилої АВ на площину а. Виконайте побудову.

Розв'язання:

Дано:

• Площина \( \alpha \)
• \( AO \perp \alpha \)
• \( AO = 12 \) см
• \( AB \) — похила
• \( AB = 13 \) см

Знайти:

• Довжину проекції похилої \( AB \) на площину \( \alpha \) (позначимо її \( OB \)).

Теоретичні відомості:

Теорема про три перпендикуляри: Якщо пряма, проведена в площині через основу перпендикуляра, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

В прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів (теорема Піфагора).

Розв'язання:

Оскільки \( AO \) — перпендикуляр до площини \( \alpha \), а \( AB \) — похила, то \( OB \) є проекцією похилої \( AB \) на площину \( \alpha \). Трикутник \( \triangle AOB \) є прямокутним, бо \( AO \) перпендикулярний до площини \( \alpha \) (а отже, до будь-якої прямої в цій площині, що проходить через \( O \), зокрема до \( OB \)).

За теоремою Піфагора в прямокутному \( \triangle AOB \):

\( AB^2 = AO^2 + OB^2 \)

Підставимо відомі значення:

\( 13^2 = 12^2 + OB^2 \)

\( 169 = 144 + OB^2 \)

\( OB^2 = 169 - 144 \)

\( OB^2 = 25 \)

\( OB = \sqrt{25} \)

\( OB = 5 \) см

Побудова:

1. Намалюйте площину \( \alpha \) (можна зобразити як паралелограм).

2. З точки \( A \) (розташованої над площиною) проведіть перпендикуляр \( AO \) до площини \( \alpha \), де \( O \) — точка на площині. Позначте \( AO = 12 \) см.

3. З точки \( O \) проведіть відрізок \( OB \) в площині \( \alpha \). Цей відрізок буде проекцією.

4. З'єднайте точки \( A \) та \( B \) відрізком \( AB \) — це похила. Позначте \( AB = 13 \) см.

5. Переконайтеся, що \( \angle AOB = 90^{\circ} \).

Відповідь: Довжина проекції похилої АВ на площину а дорівнює 5 см.