ж) 2cos²x + cosx - 1 = 0

Решение:

• Данное уравнение является квадратным относительно \( \cos x \).
• Сделаем замену: пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:
• \( 2y^2 + y - 1 = 0 \)
• Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
• \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \)
• \( \sqrt{D} = 3 \)
• Найдем корни:
• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2(2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{2(2)} = \frac{-4}{4} = -1 \)
• Теперь вернемся к замене:
• 1. \( \cos x = \frac{1}{2} \)
• Арккосинус \( \frac{1}{2} \) равен \( \frac{\pi}{3} \).
• Решения: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.
• 2. \( \cos x = -1 \)
• Решения: \( x = \pi + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \) или \( x = \pi + 2\pi k \), где \( n, k \) — целые числа.