1. Знаменатель несократимой обыкновенной дробн на 4 больше ее числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель - на 21, то дробь умень- шится на 1. Найдите эту дробь. 4

Пусть числитель дроби равен х, тогда знаменатель равен х + 4. Исходная дробь имеет вид: $$ \frac{x}{x+4}$$. После изменения числитель станет х + 2, а знаменатель х + 4 + 21 = х + 25. Новая дробь имеет вид: $$\frac{x+2}{x+25}$$. По условию задачи $$\frac{x}{x+4} - \frac{x+2}{x+25} = \frac{1}{4}$$. Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{x(x+25) - (x+2)(x+4)}{(x+4)(x+25)} = \frac{x^2 + 25x - (x^2 + 4x + 2x + 8)}{x^2 + 25x + 4x + 100} = \frac{x^2 + 25x - x^2 - 6x - 8}{x^2 + 29x + 100} = \frac{19x - 8}{x^2 + 29x + 100} = \frac{1}{4}$$. Далее, $$4(19x - 8) = x^2 + 29x + 100$$, $$76x - 32 = x^2 + 29x + 100$$, $$x^2 - 47x + 132 = 0$$. Решаем квадратное уравнение: $$D = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 132 = 2209 - 528 = 1681$$, $$\sqrt{D} = 41$$. Находим корни: $$x_1 = \frac{47 + 41}{2} = \frac{88}{2} = 44$$, $$x_2 = \frac{47 - 41}{2} = \frac{6}{2} = 3$$. Проверим корни. Если х = 44, то дробь равна $$\frac{44}{48} = \frac{11}{12}$$. Если х = 3, то дробь равна $$\frac{3}{7}$$. Подставим x = 44 в исходное уравнение: $$\frac{44}{44+4} - \frac{44+2}{44+25} = \frac{44}{48} - \frac{46}{69} = \frac{11}{12} - \frac{2}{3} = \frac{11}{12} - \frac{8}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$. Подставим x = 3 в исходное уравнение: $$\frac{3}{3+4} - \frac{3+2}{3+25} = \frac{3}{7} - \frac{5}{28} = \frac{12}{28} - \frac{5}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$$. Оба корня подходят.

Если числитель равен 3, то знаменатель равен 7, и дробь равна $$\frac{3}{7}$$. Если числитель равен 44, то знаменатель равен 48, и дробь равна $$\frac{44}{48} = \frac{11}{12}$$.

Ответ: $$\frac{3}{7}$$ или $$\frac{11}{12}$$