Зная, что lg 2 ≈ 0,301, lg 30, 477, lg 5 ≈ 0,699, с точностью до 0,01 найти (3-6):

Решение:

Нам даны приближённые значения десятичных логарифмов:

• \( \lg 2 \approx 0,301 \)
• \( \lg 5 \approx 0,699 \)
• \( \lg 3 \approx 0,477 \)

3. Найти \( \log_5 2 \)

Используем формулу смены основания логарифма:

\( \log_5 2 = \frac{\lg 2}{\lg 5} \)

Подставим известные значения:

\( \log_5 2 \approx \frac{0,301}{0,699} \approx 0,4306 \approx 0,43 \)

4. Найти \( \log_2 \sqrt[3]{5} \)

\( \log_2 \sqrt[3]{5} = \log_2 5^{1/3} = \frac{1}{3} \log_2 5 \)

Сменим основание логарифма:

\( \frac{1}{3} \log_2 5 = \frac{1}{3} \frac{\lg 5}{\lg 2} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{1}{3} \frac{0,699}{0,301} \approx \frac{1}{3} \cdot 2,322 \approx 0,774 \approx 0,77 \)

5. Найти \( \log_5 0,25 \)

\( \log_5 0,25 = \log_5 \frac{1}{4} = \log_5 4^{-1} = -\log_5 4 \)

\( -\log_5 4 = -\log_5 2^2 = -2 \log_5 2 \)

Мы уже нашли \( \log_5 2 \approx 0,43 \).

\( -2 \cdot 0,43 = -0,86 \)

6. Найти \( \log_3 \sqrt{125} + \log_5 27 \)

\( \log_3 \sqrt{125} = \log_3 125^{1/2} = \frac{1}{2} \log_3 125 = \frac{1}{2} \log_3 5^3 = \frac{3}{2} \log_3 5 \)

\( \log_5 27 = \log_5 3^3 = 3 \log_5 3 \)

Необходимо найти \( \log_3 5 \) и \( \log_5 3 \).

\( \log_3 5 = \frac{\lg 5}{\lg 3} \approx \frac{0,699}{0,477} \approx 1,465 \)

\( \log_5 3 = \frac{\lg 3}{\lg 5} \approx \frac{0,477}{0,699} \approx 0,682 \)

Теперь подставим значения:

\( \frac{3}{2} \cdot 1,465 + 3 \cdot 0,682 \approx 2,1975 + 2,046 \approx 4,2435 \approx 4,24 \)

Ответ: 3. \( \approx 0,43 \); 4. \( \approx 0,77 \); 5. \( \approx -0,86 \); 6. \( \approx 4,24 \).