1.[ (√x - 2√x+3) dx, 3

Решение:

Преобразуем интеграл:

\[\int \left( \sqrt[3]{x} - \frac{2\sqrt{x}}{3} + 3 \right) dx\]

Разбиваем интеграл на сумму интегралов:

\[\int \sqrt[3]{x} \, dx - \frac{2}{3} \int \sqrt{x} \, dx + 3 \int dx\]

Представим корни в виде степеней:

\[\int x^{\frac{1}{3}} \, dx - \frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} \, dx + 3 \int dx\]

Применим формулу интеграла от степенной функции: ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C:

• Для первого интеграла:

\[\int x^{\frac{1}{3}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} + C_1 = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C_1 = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C_1\]

• Для второго интеграла:

\[\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C_2 = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C_2 = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C_2\]

• Для третьего интеграла:

\[\int dx = x + C_3\]

Подставляем полученные интегралы обратно в исходное выражение:

\[\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 3x + C\]

Упрощаем:

\[\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - \frac{4}{9}x^{\frac{3}{2}} + 3x + C\]

Ответ: \(\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - \frac{4}{9}x^{\frac{3}{2}} + 3x + C\)