6) $$\frac{6\cdot 9^{x-1}-10}{81^{x-\frac{1}{2}}-9} \leqslant 1$$

6) $$\frac{6\cdot 9^{x-1}-10}{81^{x-\frac{1}{2}}-9} \leqslant 1$$

$$\frac{6\cdot 9^{x-1}-10}{81^{x-\frac{1}{2}}-9} - 1 \leqslant 0$$

$$\frac{6\cdot 9^{x-1}-10-(81^{x-\frac{1}{2}}-9)}{81^{x-\frac{1}{2}}-9} \leqslant 0$$

$$\frac{6\cdot 9^{x-1}-10-81^{x-\frac{1}{2}}+9}{81^{x-\frac{1}{2}}-9} \leqslant 0$$

$$\frac{6\cdot 9^{x-1}-1-81^{x-\frac{1}{2}}}{81^{x-\frac{1}{2}}-9} \leqslant 0$$

$$\frac{6\cdot \frac{9^x}{9}-1-\frac{81^x}{\sqrt{81}}}{ \frac{81^x}{\sqrt{81}}-9} \leqslant 0$$

$$\frac{\frac{2}{3}9^x-1-\frac{81^x}{9}}{ \frac{81^x}{9}-9} \leqslant 0$$

Пусть $$t = 9^x$$. Тогда $$81^x = (9^2)^x = (9^x)^2 = t^2$$.

$$\frac{\frac{2}{3}t-1-\frac{t^2}{9}}{ \frac{t^2}{9}-9} \leqslant 0$$

$$\frac{\frac{6t -9 -t^2}{9}}{ \frac{t^2-81}{9}} \leqslant 0$$

$$\frac{-(t^2-6t+9)}{t^2-81} \leqslant 0$$

$$\frac{-(t-3)^2}{(t-9)(t+9)} \leqslant 0$$

$$\frac{(t-3)^2}{(t-9)(t+9)} \geqslant 0$$

$$\frac{(9^x-3)^2}{(9^x-9)(9^x+9)} \geqslant 0$$

Так как $$9^x+9>0$$, то нужно решить уравнение:

$$\frac{(9^x-3)^2}{(9^x-9)} \geqslant 0$$

Имеем корни $$9^x=3, 9^x=9$$

$$9^x=3 \implies 3^{2x}=3^1 \implies 2x=1 \implies x=\frac{1}{2}$$

$$9^x=9 \implies x=1$$

Метод интервалов

 +         +          -                +
--------(0.5)--------(1)---------------> x

Тогда $$x \in (-\infty; 1) \cup {\frac{1}{2}}$$

Ответ: $$x \in (-\infty; 1) \cup {\frac{1}{2}}$$