6) $$\frac{1}{5^x-5} \leqslant \frac{2}{5^x+15}$$

6) $$\frac{1}{5^x-5} \leqslant \frac{2}{5^x+15}$$

Переносим все в левую часть:

$$\frac{1}{5^x-5} - \frac{2}{5^x+15} \leqslant 0$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{5^x+15-2(5^x-5)}{(5^x-5)(5^x+15)} \leqslant 0$$

$$\frac{5^x+15-2\cdot 5^x+10}{(5^x-5)(5^x+15)} \leqslant 0$$

$$\frac{-5^x+25}{(5^x-5)(5^x+15)} \leqslant 0$$

$$\frac{5^x-25}{(5^x-5)(5^x+15)} \geqslant 0$$

$$\frac{5^x-5^2}{(5^x-5)(5^x+15)} \geqslant 0$$

Пусть $$t=5^x$$. Тогда $$t>0$$.

$$\frac{t-25}{(t-5)(t+15)} \geqslant 0$$

Имеем корни: $$t=25, t=5, t=-15$$. Так как $$t>0$$, то t=-15 не подходит.

Метод интервалов:

$$\frac{t-25}{(t-5)(t+15)} \geqslant 0$$

      +            -             +
------------------------------------>
(-15)          (5)            (25)

Получаем $$t \in (-15,5) \cup [25, +\infty)$$.

Так как $$t>0$$, то $$t \in (0,5) \cup [25, +\infty)$$.

$$5^x < 5 \cup 5^x \geqslant 25$$

$$5^x < 5^1 \cup 5^x \geqslant 5^2$$

$$x < 1 \cup x \geqslant 2$$

Ответ: $$x < 1 \cup x \geqslant 2$$