19. $$\frac{(x²+x)²-11(x²+x) = 1}{8}$$

Решим уравнение $$(x^2 + x)^2 - 11(x^2 + x) = 18$$.

Пусть $$y = x^2 + x$$. Тогда уравнение принимает вид:

$$y^2 - 11y = 18$$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$$y^2 - 11y - 18 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 121 + 72 = 193$$

Найдем корни: $$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{193}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm \sqrt{193}}{2}$$

Подставим обратно: $$y = x^2 + x$$

1) $$x^2 + x = \frac{11 + \sqrt{193}}{2}$$

$$x^2 + x - \frac{11 + \sqrt{193}}{2} = 0$$

$$D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{-11 - \sqrt{193}}{2} = 1 + 22 + 2\sqrt{193} = 23 + 2\sqrt{193}$$

$$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{23 + 2\sqrt{193}}}{2}$$

2) $$x^2 + x = \frac{11 - \sqrt{193}}{2}$$

$$x^2 + x - \frac{11 - \sqrt{193}}{2} = 0$$

$$D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{-11 + \sqrt{193}}{2} = 1 + 22 - 2\sqrt{193} = 23 - 2\sqrt{193}$$

$$x_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{23 - 2\sqrt{193}}}{2}$$

Ответ: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{23 + 2\sqrt{193}}}{2}; \frac{-1 \pm \sqrt{23 - 2\sqrt{193}}}{2}$$