6) 3 + \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + ...;

Задание: Вычислите сумму бесконечной геометрической прогрессии.

Для вычисления суммы бесконечной геометрической прогрессии, необходимо, чтобы модуль знаменателя был меньше 1. То есть |q| < 1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1-q}$$, где

$$b_1$$ - первый член прогрессии,

$$q$$ - знаменатель прогрессии.

В нашем случае:

$$b_1 = 3$$

Найдем знаменатель прогрессии:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Проверим, что |q| < 1:

$$|\frac{1}{\sqrt{3}}| < 1$$ - верно, значит, можно использовать формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Вычислим сумму:

$$S = \frac{3}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3(3+\sqrt{3})}{3-1} = \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: \frac{9+3\sqrt{3}}{2}