г) 4 + 2\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + ....

Задание: Вычислите сумму бесконечной геометрической прогрессии.

Для вычисления суммы бесконечной геометрической прогрессии, необходимо, чтобы модуль знаменателя был меньше 1. То есть |q| < 1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1-q}$$, где

$$b_1$$ - первый член прогрессии,

$$q$$ - знаменатель прогрессии.

В нашем случае:

$$b_1 = 4$$

Найдем знаменатель прогрессии:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Проверим, что |q| < 1:

$$|\frac{\sqrt{2}}{2}| < 1$$ - верно, значит, можно использовать формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Вычислим сумму:

$$S = \frac{4}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{2-\sqrt{2}} = \frac{8(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{8(2+\sqrt{2})}{4-2} = \frac{8(2+\sqrt{2})}{2} = 4(2+\sqrt{2}) = 8 + 4\sqrt{2}$$

Ответ: 8 + 4\sqrt{2}