в) 49 - 14 + 4 - \frac{8}{7} + ...;

Задание: Вычислите сумму бесконечной геометрической прогрессии.

Для вычисления суммы бесконечной геометрической прогрессии, необходимо, чтобы модуль знаменателя был меньше 1. То есть |q| < 1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1-q}$$, где

$$b_1$$ - первый член прогрессии,

$$q$$ - знаменатель прогрессии.

В нашем случае:

$$b_1 = 49$$

Найдем знаменатель прогрессии:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-14}{49} = -\frac{2}{7}$$

Проверим, что |q| < 1:

$$|-\frac{2}{7}| < 1$$ - верно, значит, можно использовать формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Вычислим сумму:

$$S = \frac{49}{1-(-\frac{2}{7})} = \frac{49}{1+\frac{2}{7}} = \frac{49}{\frac{9}{7}} = 49 \cdot \frac{7}{9} = \frac{343}{9} = 38\frac{1}{9}$$

Ответ: \frac{343}{9}