0647. a) - 6+\frac{2}{3}-\frac{2}{27}+\frac{2}{243}- ... ;

Задание: Вычислите сумму бесконечной геометрической прогрессии.

Для вычисления суммы бесконечной геометрической прогрессии, необходимо, чтобы модуль знаменателя был меньше 1. То есть |q| < 1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1-q}$$, где

$$b_1$$ - первый член прогрессии,

$$q$$ - знаменатель прогрессии.

Преобразуем выражение в следующий вид:

$$-6 + \frac{2}{3} - \frac{2}{27} + \frac{2}{243} - ... = \frac{2}{3} - \frac{2}{27} + \frac{2}{243} - ... - 6$$

Рассмотрим геометрическую прогрессию:

$$\frac{2}{3} - \frac{2}{27} + \frac{2}{243} - ...$$

В нашем случае:

$$b_1 = \frac{2}{3}$$

Найдем знаменатель прогрессии:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{2}{27}}{\frac{2}{3}} = -\frac{2}{27} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{1}{9}$$

Проверим, что |q| < 1:

$$|-\frac{1}{9}| < 1$$ - верно, значит, можно использовать формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Вычислим сумму:

$$S = \frac{\frac{2}{3}}{1-(-\frac{1}{9})} = \frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0.6$$

Тогда исходное выражение равно:

$$0.6 - 6 = -5.4$$

Ответ: -5.4