22 | Постройте график функции у = \frac{2|x|-1}{2x^{2}-|x|}. Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком данной функции общих точек.

Решение задания №22

Рассмотрим функцию \[y = \frac{2|x|-1}{2x^{2}-|x|}\]

1. Если \(x > 0\), то \(|x| = x\), и функция принимает вид: \[y = \frac{2x-1}{2x^2-x} = \frac{2x-1}{x(2x-1)}\]

Сокращаем дробь (при \(2x - 1
eq 0\) или \(x
eq \frac{1}{2}\)): \[y = \frac{1}{x}\] для \(x > 0\) и \(x
eq \frac{1}{2}\)

2. Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\), и функция принимает вид: \[y = \frac{-2x-1}{2x^2+x} = \frac{-(2x+1)}{x(2x+1)}\]

Сокращаем дробь (при \(2x + 1
eq 0\) или \(x
eq -\frac{1}{2}\)): \[y = -\frac{1}{x}\] для \(x < 0\) и \(x
eq -\frac{1}{2}\)

Таким образом, график функции состоит из двух частей гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) при \(x > 0\) и \(y = -\frac{1}{x}\) при \(x < 0\), с выколотыми точками в \(x = \frac{1}{2}\) и \(x = -\frac{1}{2}\).

Прямая \(y = kx\) не имеет общих точек с графиком, если она проходит через выколотые точки или является осью Ox (k=0):

1. Проходит через \(x = \frac{1}{2}\): \[y = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\] Тогда \(kx = k \cdot \frac{1}{2} = 2\), откуда \(k = 4\)

2. Проходит через \(x = -\frac{1}{2}\): \[y = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2\] Тогда \(kx = k \cdot (-\frac{1}{2}) = 2\), откуда \(k = -4\)

3. Ось Ox: \(k = 0\)

Также нужно учитывать случай, когда прямая совпадает с участком графика, содержащим выколотую точку, но в самой точке не пересекается. Т.е. когда прямая y = kx является касательной к гиперболе.

Ответ: k = -4, k = 0, k = 4

Проверка за 10 секунд: Нарисуйте график функции и прямые y = kx для найденных k. Убедитесь, что у них нет общих точек.