23 Отрезок ВН является высотой треугольника АВС, в котором угол В прямой. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках М и N соответственно. Найдите ВН, если MN = 19.

Решение задания №23

Дано: * \(\triangle ABC\) - прямоугольный, \(\angle B = 90^\circ\) * BH - высота к AC * Окружность с диаметром BH пересекает AB в M, BC в N * MN = 19

Найти: BH

Решение:

1. \(MN \parallel AC\). Так как BH - диаметр, то \(\angle BMB = \angle BNB = 90^\circ\). Значит, MN - средняя линия треугольника ABC.
2. \(MN = \frac{1}{2}AC\) (свойство средней линии треугольника)
3. Рассмотрим \(\triangle ABH\) и \(\triangle CBH\): они также прямоугольные.
4. Так как \(\angle BMB = 90^\circ\), то M и N - основания высот в этих треугольниках.
5. Треугольники \(\triangle MHN\) и \(\triangle ABC\) подобны.
6. Значит, \(\frac{MN}{AC} = \frac{BH}{AB+BC}\).
7. Поскольку MN - средняя линия, то \(\frac{MN}{AC} = \frac{1}{2}\).
8. Из подобия треугольников \[\frac{MN}{AC} = \frac{1}{2}\] следует, что \(MN = \frac{1}{2}AC = 19\), значит \(AC = 38\).
9. BH - высота, проведенная к гипотенузе.
10. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу: \(BH = \frac{AB \cdot BC}{AC}\).
11. В нашем случае, \(MN = \frac{1}{2}AC\).
12. Отрезок MN является средней линией треугольника ABC, следовательно, MN = 19 и AC = 2MN = 38.
13. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Высота BH, проведенная к гипотенузе AC, делит его на два подобных треугольника: ABH и CBH. Также, треугольник ABC подобен треугольникам ABH и CBH.
14. \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\) с коэффициентом подобия \(\frac{1}{2}\). Следовательно, \(BH = 2MN\).

Тогда BH = MN = 19.

Ответ: 19

Проверка за 10 секунд: Проверьте, что MN является средней линией треугольника ABC, а значит, BH = MN.