20 | Решите неравенство \frac{-30}{x^{2}+x-90}≥0.

Решение задания №20

Решим неравенство методом интервалов:

1. Определим, когда знаменатель равен нулю: \[x^2 + x - 90 = 0\]

2. Решим квадратное уравнение: \[x^2 + x - 90 = 0\] Дискриминант: \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361\] Корни: \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{361}}{2} = \frac{-1 + 19}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{361}}{2} = \frac{-1 - 19}{2} = \frac{-20}{2} = -10\]

3. Определим интервалы, на которых функция \(\frac{-30}{x^2+x-90}\) сохраняет знак. Числитель всегда отрицателен (-30), поэтому знак дроби зависит только от знака знаменателя. Знаменатель положителен при \[x \in (-\infty; -10) \cup (9; +\infty)\] Знаменатель отрицателен при \[x \in (-10; 9)\] Так как нам нужно, чтобы дробь была больше или равна нулю, и числитель всегда отрицателен, то знаменатель должен быть отрицательным. Исключаем точки, где знаменатель равен нулю (x = -10 и x = 9), так как на ноль делить нельзя.

Решением неравенства будет интервал, где знаменатель отрицателен:

Ответ: (-10; 9)

Проверка за 10 секунд: Подставьте значения из интервала (-10; 9) и убедитесь, что неравенство выполняется. Проверьте граничные точки -10 и 9: неравенство не должно выполняться.