25) ∫|x-1| dx; 0 2

25) ∫₀² |x-1| dx

Решение:

Рассмотрим функцию |x-1|. Она равна x-1 при x ≥ 1 и -(x-1) при x < 1.

Разбиваем интеграл на два:

$$\int_{0}^{2} |x-1| dx = \int_{0}^{1} -(x-1) dx + \int_{1}^{2} (x-1) dx$$

$$= \int_{0}^{1} (1-x) dx + \int_{1}^{2} (x-1) dx$$

Первообразная функции 1-x равна $$F_1(x) = x - \frac{x^2}{2}$$.

Первообразная функции x-1 равна $$F_2(x) = \frac{x^2}{2} - x$$.

Вычислим определенные интегралы:

$$\int_{0}^{1} (1-x) dx = F_1(1) - F_1(0) = (1 - \frac{1^2}{2}) - (0 - \frac{0^2}{2}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

$$\int_{1}^{2} (x-1) dx = F_2(2) - F_2(1) = (\frac{2^2}{2} - 2) - (\frac{1^2}{2} - 1) = (2 - 2) - (\frac{1}{2} - 1) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$$

Суммируем результаты:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

Ответ: 1