∫(3x-8)(√x−x+2)dx

Ответ: ∫(3x - 8)(√x - x + 2) dx

Решение:

Шаг 1: Раскроем скобки:

• (3x - 8)(√x - x + 2) = 3x√x - 3x² + 6x - 8√x + 8x - 16 = 3x√x - 3x² + 14x - 8√x - 16

Шаг 2: Запишем √x как x^(1/2) и x√x как x^(3/2):

• 3x^(3/2) - 3x² + 14x - 8x^(1/2) - 16

Шаг 3: Проинтегрируем полученное выражение:

• ∫(3x^(3/2) - 3x² + 14x - 8x^(1/2) - 16) dx = 3∫x^(3/2) dx - 3∫x² dx + 14∫x dx - 8∫x^(1/2) dx - ∫16 dx

Шаг 4: Применим правило интегрирования для степенной функции ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C:

• 3∫x^(3/2) dx = 3 * (x^(5/2) / (5/2)) + C₁ = 3 * (2/5)x^(5/2) + C₁ = (6/5)x^(5/2) + C₁
• -3∫x² dx = -3 * (x³ / 3) + C₂ = -x³ + C₂
• 14∫x dx = 14 * (x² / 2) + C₃ = 7x² + C₃
• -8∫x^(1/2) dx = -8 * (x^(3/2) / (3/2)) + C₄ = -8 * (2/3)x^(3/2) + C₄ = -(16/3)x^(3/2) + C₄
• -∫16 dx = -16x + C₅

Шаг 5: Объединим все полученные интегралы:

• ∫(3x^(3/2) - 3x² + 14x - 8x^(1/2) - 16) dx = (6/5)x^(5/2) - x³ + 7x² - (16/3)x^(3/2) - 16x + C

Где C - произвольная константа интегрирования.

Ответ:

(6/5)x^(5/2) - x³ + 7x² - (16/3)x^(3/2) - 16x + C

Ответ: (6/5)x^(5/2) - x³ + 7x² - (16/3)x^(3/2) - 16x + C