∫(2-3x)(4+√x)dx

Ответ: ∫(2 - 3x)(4 + √x) dx

Решение:

Шаг 1: Раскроем скобки:

• (2 - 3x)(4 + √x) = 2 * 4 + 2√x - 3x * 4 - 3x√x = 8 + 2√x - 12x - 3x√x

Шаг 2: Запишем √x как x^(1/2) и x√x как x^(3/2):

• 8 + 2x^(1/2) - 12x - 3x^(3/2)

Шаг 3: Проинтегрируем полученное выражение:

• ∫(8 + 2x^(1/2) - 12x - 3x^(3/2)) dx = ∫8 dx + 2∫x^(1/2) dx - 12∫x dx - 3∫x^(3/2) dx

Шаг 4: Применим правило интегрирования для степенной функции ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C:

• ∫8 dx = 8x + C₁
• 2∫x^(1/2) dx = 2 * (x^(3/2) / (3/2)) + C₂ = 2 * (2/3)x^(3/2) + C₂ = (4/3)x^(3/2) + C₂
• -12∫x dx = -12 * (x² / 2) + C₃ = -6x² + C₃
• -3∫x^(3/2) dx = -3 * (x^(5/2) / (5/2)) + C₄ = -3 * (2/5)x^(5/2) + C₄ = -(6/5)x^(5/2) + C₄

Шаг 5: Объединим все полученные интегралы:

• ∫(8 + 2x^(1/2) - 12x - 3x^(3/2)) dx = 8x + (4/3)x^(3/2) - 6x² - (6/5)x^(5/2) + C

Где C - произвольная константа интегрирования.

Ответ:

8x + (4/3)x^(3/2) - 6x² - (6/5)x^(5/2) + C

Ответ: 8x + (4/3)x^(3/2) - 6x² - (6/5)x^(5/2) + C