6 2. ∫(7/x+x³+8√x²)dx

Ответ: ∫(7/x + 6/x³ + 8∛x²)dx

Решение:

Шаг 1: Разделим интеграл на отдельные части:

• ∫(7/x + 6/x³ + 8∛x²)dx = ∫(7/x)dx + ∫(6/x³)dx + ∫(8∛x²)dx

Шаг 2: Вынесем константы за знаки интегралов:

• = 7∫(1/x)dx + 6∫(1/x³)dx + 8∫(∛x²)dx

Шаг 3: Преобразуем подынтегральные выражения:

• = 7∫(1/x)dx + 6∫x⁻³ dx + 8∫x^(2/3) dx

Шаг 4: Применим правила интегрирования:

• ∫(1/x)dx = ln|x| + C₁
• ∫x⁻³ dx = x^(-3+1) / (-3+1) + C₂ = x⁻² / (-2) + C₂ = -1 / (2x²) + C₂
• ∫x^(2/3) dx = x^(2/3 + 1) / (2/3 + 1) + C₃ = x^(5/3) / (5/3) + C₃ = (3/5)x^(5/3) + C₃

Шаг 5: Подставим полученные результаты в исходное выражение:

• 7∫(1/x)dx = 7ln|x| + C₁
• 6∫x⁻³ dx = 6 * (-1 / (2x²)) + C₂ = -3 / x² + C₂
• 8∫x^(2/3) dx = 8 * (3/5)x^(5/3) + C₃ = (24/5)x^(5/3) + C₃

Шаг 6: Объединим все части:

• ∫(7/x + 6/x³ + 8∛x²)dx = 7ln|x| - 3/x² + (24/5)x^(5/3) + C

Где C - произвольная константа интегрирования.

Ответ:

7ln|x| - 3/x² + (24/5)x^(5/3) + C

Ответ: 7ln|x| - 3/x² + (24/5)x^(5/3) + C