④ Упростите выражение: 1) $(1 + cos\alpha)(1 - cos\alpha)$; 2) $tg\alpha \cdot \frac{1}{sin\alpha}$; 3) $1 + sin^2\alpha - cos^2\alpha$

1) $(1 + cos\alpha)(1 - cos\alpha)$: Здесь мы видим разность квадратов: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. Применим эту формулу: $(1 + cos\alpha)(1 - cos\alpha) = 1^2 - cos^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$ Вспомним основное тригонометрическое тождество: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Выразим $sin^2\alpha$: $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$ Таким образом, $1 - cos^2\alpha = sin^2\alpha$. Ответ: $sin^2\alpha$ 2) $tg\alpha \cdot \frac{1}{sin\alpha}$: Вспомним, что $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$. Подставим это в выражение: $\frac{sin\alpha}{cos\alpha} \cdot \frac{1}{sin\alpha} = \frac{1}{cos\alpha}$ Так как $\frac{1}{cos\alpha} = sec\alpha$, то: Ответ: $\frac{1}{cos\alpha}$ или $sec\alpha$ 3) $1 + sin^2\alpha - cos^2\alpha$: Снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, выразив $1$ как $sin^2\alpha + cos^2\alpha$: $1 + sin^2\alpha - cos^2\alpha = sin^2\alpha + cos^2\alpha + sin^2\alpha - cos^2\alpha$ Упростим, сгруппировав подобные слагаемые: $sin^2\alpha + sin^2\alpha + cos^2\alpha - cos^2\alpha = 2sin^2\alpha$ Ответ: $2sin^2\alpha$