⑥ Вычислите косинус угла между векторами р и д, если р (6;8), (30;16).

6) Вычислим косинус угла между векторами $$ \vec{p} = (6; 8) $$ и $$ \vec{q} = (30; 16) $$.

Косинус угла между векторами находится по формуле:

$$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| \cdot |\vec{q}|} $$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$$ \vec{p} \cdot \vec{q} = 6 \cdot 30 + 8 \cdot 16 = 180 + 128 = 308 $$.

Найдем длины векторов:

$$ |\vec{p}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $$.

$$ |\vec{q}| = \sqrt{30^2 + 16^2} = \sqrt{900 + 256} = \sqrt{1156} = 34 $$.

Тогда косинус угла между векторами равен:

$$ \cos(\alpha) = \frac{308}{10 \cdot 34} = \frac{308}{340} = \frac{77}{85} $$.

Ответ: $$\frac{77}{85}$$