10.★★☆ В четырёхугольнике ABCD AB = CD. Внутри него отметили та- кую точку О, что АО = OD, BO = CO. Докажите, что диагонали четырёх- угольника равны.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABO$$ и $$ \triangle DCO$$.

В них:

1. $$AO = OD$$ (по условию),
2. $$BO = OC$$ (по условию),
3. $$AB = CD$$ (по условию).

Следовательно, $$ \triangle ABO = \triangle DCO$$ по трем сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство углов: $$ \angle BAO = \angle CDO$$, $$ \angle ABO = \angle DCO$$ и $$ \angle AOB = \angle DOC$$.

Так как $$ \angle AOB = \angle DOC$$, то углы $$ \angle AOC = \angle BOD$$.

Рассмотрим треугольники $$ \triangle AOC$$ и $$ \triangle BOD$$.

В них:

1. $$AO = OD$$ (по условию),
2. $$BO = OC$$ (по условию),
3. $$ \angle AOC = \angle BOD$$.

Следовательно, $$ \triangle AOC = \triangle BOD$$ по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует равенство сторон $$AC = BD$$, а значит, диагонали четырехугольника равны, что и требовалось доказать.

Ответ: диагонали четырёхугольника ABCD равны