11.☆ На основании АС равнобедрен- ного треугольника АВС взяли точку М, а на отрезке ВМ — точку N. Из- вестно, что АМ = BN = 1, MN = 2, CN = 3. Найдите АС.

Пусть $$AM = a$$, $$MN = b$$, $$NC = c$$. По условию задачи $$a = 1$$, $$b = 2$$, $$c = 3$$.

Построим точку К такую, что $$ \triangle AMK = \triangle CNB$$.

Тогда $$AK = BC$$, $$MK = NB = b = 2$$, $$AK \parallel BC$$, $$ \angle MAK = \angle NCB$$.

$$ \triangle ABC$$ - равнобедренный, значит $$AB = BC$$, а значит $$ \triangle AMK = \triangle BMA$$.

$$AM = BM = a = 1$$, тогда $$AB = a + c = 1 + 3 = 4$$.

Так как $$MK = NB = 2$$, $$AK = BM = 1$$, то $$AK = 1$$, $$MK = 2$$, $$AM = 1$$, значит, $$P_{AMK} = 1 + 2 + 1 = 4$$.

Так как $$MK = KN = NM = 2$$, то $$ \triangle KMN$$ - равносторонний.

$$ \angle KMN = 60°$$, $$ \angle AMK = \angle CNB = \frac{180 - 60}{2} = 60°$$, а значит $$ \triangle AMK = \triangle CNB$$ - равносторонние.

Получается, что $$AK = AM = MK = 2$$ и $$BC = BN = NC = 2$$, тогда $$AC = AK + KC = AM + MC = 1 + 3 = 4$$.

Ответ: AC = 4