№5. (2 балла) Высота правильной четырехугольной пирамиды 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если двугранный угол при основании равен 45°.

Пусть \(SABCD\) - правильная четырехугольная пирамида с высотой \(SO = 4\) см. Двугранный угол при основании равен \(45^\circ\).

Т.к. пирамида правильная, то в основании лежит квадрат. Пусть сторона квадрата равна \(a\). Тогда апофема пирамиды \(SK = SO = 4\) см (т.к. угол между апофемой и основанием равен 45°).

Также \(OK = \frac{1}{2}a\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle SOK\) (\(\angle SOK = 90^\circ\)). Т.к. \(\angle SKO = 45^\circ\), то \(\angle KSO = 45^\circ\). Следовательно, \(\triangle SOK\) - равнобедренный, и \(SO = OK = 4\) см.

Тогда \(\frac{1}{2}a = 4\), следовательно \(a = 8\) см.

Площадь основания пирамиды равна: \[S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64\] кв. см

Площадь боковой поверхности пирамиды равна: \[S_{бок} = \frac{1}{2}P_{осн} \cdot SK = \frac{1}{2} (4 \cdot 8) \cdot 4 = 64\] кв. см

Площадь полной поверхности пирамиды равна: \[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 64 + 64 = 128\] кв. см

Ответ: 128 кв. см