№ 1. Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними – 120°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Пусть a = 10 см, b = 12 см, угол γ = 120°. Третью сторону с найдем по теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ)$$ $$c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot cos(120°)$$ $$c^2 = 100 + 144 - 240 \cdot (-0.5) = 244 + 120 = 364$$ $$c = \sqrt{364} = 2\sqrt{91} \approx 19.08 \text{ см}$$ Площадь треугольника найдем по формуле: $$S = \frac{1}{2} ab \cdot sin(γ)$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot sin(120°) = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \approx 51.96 \text{ см}^2$$

Ответ: Третья сторона $$c = 2\sqrt{91} \approx 19.08 \text{ см}$$, площадь $$S = 30\sqrt{3} \approx 51.96 \text{ см}^2$$