№ 1. Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними - 120°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Пусть a = 10 см, b = 12 см, γ = 120°.

По теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ)$$.

Подставляем значения: $$c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot cos(120°)$$.

$$c^2 = 100 + 144 - 240 \cdot (-\frac{1}{2}) = 244 + 120 = 364$$.

$$c = \sqrt{364} = 2\sqrt{91}$$ см.

Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(γ)$$.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot sin(120°) = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$$ см².

Ответ: Третья сторона равна $$2\sqrt{91}$$ см, площадь равна $$30\sqrt{3}$$ см².