№7. (26) Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке O. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки A до точки O равно 7.

Пусть B и C - точки касания. Тогда $$\angle BAO = \angle CAO = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$$. OB и OC - радиусы, проведенные в точки касания, поэтому $$\angle OBA = \angle OCA = 90^{\circ}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle OBA$$. В нём $$OA = 7$$ (гипотенуза), $$\angle BAO = 30^{\circ}$$, OB - радиус (катет, противолежащий углу $$30^{\circ}$$). Используем синус угла $$30^{\circ}$$: $$\sin{\angle BAO} = \frac{OB}{OA}$$ $$\sin{30^{\circ}} = \frac{OB}{7}$$ $$OB = 7 \cdot \sin{30^{\circ}} = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3.5$$ Радиус окружности равен 3.5. $$\textbf{Ответ: } 3.5$$