№ 1. На рисунке 68 точка О – центр окружности, ∠BOC=40°. Найдите угол OBD.

Дано: * О - центр окружности * \(\angle BOC = 40^\circ\) Найти: \(\angle OBD\) Решение: 1. \(OB = OC\) как радиусы одной окружности, следовательно, треугольник \(\triangle BOC\) - равнобедренный. 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит \(\angle OBC = \angle OCB\). 3. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Следовательно, \(\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ\). 4. \(BD\) - тоже радиус окружности, значит \(OB = OD\). Следовательно, треугольник \(\triangle OBD\) - равнобедренный. 5. Так как \(OB = OD\), то \(\angle OBD = \angle ODB\). 6. \(OD\) и \(OC\) - радиусы, значит \(\angle COD\) - центральный угол, опирающийся на дугу \(CD\). Угол \(\angle CBD\) - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу \(CD\). 7. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, значит \(\angle CBD = \frac{1}{2} \angle COD\). 8. Угол \(\angle BOD\) является смежным с углом \(\angle BOC\). Сумма смежных углов равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle BOD = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\). 9. В равнобедренном треугольнике \(\triangle OBD\) углы при основании равны, значит \(\angle OBD = \angle ODB = \frac{180^\circ - 140^\circ}{2} = 20^\circ\). Ответ: \(\angle OBD = 20^\circ\)