№ 5. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. a) f(x) = x²-2x² + x − 3, [1/2; 2] 4 +x б) f(x) = x+1 , [0; 3]

1. a) \(f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 3\), \([\frac{1}{2}; 2]\)
   1. Находим производную:

      \(f'(x) = 3x^2 - 4x + 1\)

   2. Находим критические точки:

      \(3x^2 - 4x + 1 = 0\)

      \(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}\)

      \(x_1 = 1\), \(x_2 = \frac{1}{3}\)

   3. Проверяем, какие точки принадлежат отрезку \([\frac{1}{2}; 2]\):

      Точка \(x = 1\) принадлежит отрезку, а точка \(x = \frac{1}{3}\) не принадлежит.

   4. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке:

      \(f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3 - 2(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{8} - 3 = -\frac{23}{8} = -2.875\)

      \(f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 - 3 = 1 - 2 + 1 - 3 = -3\)

      \(f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2 - 3 = 8 - 8 + 2 - 3 = -1\)

   5. Сравниваем значения и выбираем наибольшее и наименьшее:

      Наибольшее значение: \(-1\)

      Наименьшее значение: \(-3\)

2. б) \(f(x) = \frac{4}{x + 1} + x\), \([0; 3]\)
   1. Находим производную:

      \(f'(x) = -\frac{4}{(x + 1)^2} + 1\)

   2. Находим критические точки:

      \(-\frac{4}{(x + 1)^2} + 1 = 0\)

      \(\frac{4}{(x + 1)^2} = 1\)

      \((x + 1)^2 = 4\)

      \(x + 1 = \pm 2\)

      \(x_1 = 1\), \(x_2 = -3\)

   3. Проверяем, какие точки принадлежат отрезку \([0; 3]\):

      Точка \(x = 1\) принадлежит отрезку, а точка \(x = -3\) не принадлежит.

   4. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке:

      \(f(0) = \frac{4}{0 + 1} + 0 = 4\)

      \(f(1) = \frac{4}{1 + 1} + 1 = 2 + 1 = 3\)

      \(f(3) = \frac{4}{3 + 1} + 3 = 1 + 3 = 4\)

   5. Сравниваем значения и выбираем наибольшее и наименьшее:

      Наибольшее значение: \(4\)

      Наименьшее значение: \(3\)

Ответ: a) min: -3, max: -1; б) min: 3, max: 4