№ 4. Найти промежутки, убывания функции. f(x) = x² - 6x2 +5

1. Находим производную функции:

   \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 5\)

   \(f'(x) = 3x^2 - 12x\)

2. Находим нули производной:

   \(3x^2 - 12x = 0\)

   \(3x(x - 4) = 0\)

   \(x = 0\) или \(x = 4\)

3. Определяем знаки производной на интервалах:

   Рассмотрим интервалы \((-\infty; 0)\), \((0; 4)\), \((4; +\infty)\)

   • На интервале \((-\infty; 0)\) возьмем \(x = -1\): \(f'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 > 0\) (функция возрастает)
   • На интервале \((0; 4)\) возьмем \(x = 2\): \(f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) = 12 - 24 = -12 < 0\) (функция убывает)
   • На интервале \((4; +\infty)\) возьмем \(x = 5\): \(f'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 > 0\) (функция возрастает)

Ответ: Функция убывает на интервале (0; 4)