№2. Решить уравнения: a) √x -1 = 2; б) √2x - 1 = x - 2; в) √23+3x-5x2 = 3.

1. a) \(\sqrt{x - 1} = 2\)

   Возводим обе части уравнения в квадрат:

   \((\sqrt{x - 1})^2 = 2^2\)

   \(x - 1 = 4\)

   \(x = 4 + 1\)

   \(x = 5\)

2. б) \(\sqrt{2x - 1} = x - 2\)

   Возводим обе части уравнения в квадрат:

   \((\sqrt{2x - 1})^2 = (x - 2)^2\)

   \(2x - 1 = x^2 - 4x + 4\)

   \(x^2 - 6x + 5 = 0\)

   Решаем квадратное уравнение:

   \(x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}\)

   \(x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5\)

   \(x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1\)

   Проверяем корни:

   Для \(x = 5\): \(\sqrt{2 \cdot 5 - 1} = 5 - 2\), \(\sqrt{9} = 3\), \(3 = 3\) (верно)

   Для \(x = 1\): \(\sqrt{2 \cdot 1 - 1} = 1 - 2\), \(\sqrt{1} = -1\), \(1 = -1\) (неверно)

   Итак, корень \(x = 1\) — посторонний.

3. в) \(\sqrt{23 + 3x - 5x^2} = 3\)

   Возводим обе части уравнения в квадрат:

   \((\sqrt{23 + 3x - 5x^2})^2 = 3^2\)

   \(23 + 3x - 5x^2 = 9\)

   \(-5x^2 + 3x + 14 = 0\)

   \(5x^2 - 3x - 14 = 0\)

   Решаем квадратное уравнение:

   \(x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-14)}}{2 \cdot 5} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 280}}{10} = \frac{3 \pm \sqrt{289}}{10} = \frac{3 \pm 17}{10}\)

   \(x_1 = \frac{3 + 17}{10} = 2\)

   \(x_2 = \frac{3 - 17}{10} = -1.4\)

   Проверяем корни:

   Для \(x = 2\): \(\sqrt{23 + 3 \cdot 2 - 5 \cdot 2^2} = \sqrt{23 + 6 - 20} = \sqrt{9} = 3\) (верно)

   Для \(x = -1.4\): \(\sqrt{23 + 3 \cdot (-1.4) - 5 \cdot (-1.4)^2} = \sqrt{23 - 4.2 - 9.8} = \sqrt{9} = 3\) (верно)

Ответ: a) x = 5; б) x = 5; в) x = 2, x = -1.4