№ 3 Найдите значения х, при которых функция f(x) = xlog₃x-2 Принимает значение равное 27.

Решение:

f(x) = x^(log₃x - 2) = 27

• Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

log₃(x^(log₃x - 2)) = log₃(27)

• Используем свойство логарифма степени:

(log₃x - 2) * log₃x = log₃(3³)

(log₃x - 2) * log₃x = 3

• Пусть t = log₃x, тогда уравнение примет вид:

(t - 2) * t = 3

t² - 2t = 3

t² - 2t - 3 = 0

• Решаем квадратное уравнение:

D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

t₁ = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3

t₂ = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -1

• Возвращаемся к замене:

log₃x = 3 => x₁ = 3³ = 27

log₃x = -1 => x₂ = 3⁻¹ = 1/3

• Проверяем корни:

x = 27:

f(27) = 27^(log₃(27) - 2) = 27^(3 - 2) = 27¹ = 27

x = 1/3:

f(1/3) = (1/3)^(log₃(1/3) - 2) = (1/3)^(-1 - 2) = (1/3)⁻³ = 3³ = 27

x = 9: f(9) = 9^(log₃9 - 2) = 9^(2 - 2) = 9⁰ = 1. Подходит только x = 9.