№ 1. Решите уравнения: a) log²₃ x-10log₃ x+21=0; б) lg(x²-2) = -lg₁/ₓ x; в) (1/3)⁴⁻²ˣ = 9.

Решение №1

a) log²₃ x - 10log₃ x + 21 = 0

• Замена переменной:

Пусть t = log₃ x, тогда уравнение примет вид:

t² - 10t + 21 = 0

• Решаем квадратное уравнение:

D = (-10)² - 4 * 1 * 21 = 100 - 84 = 16

t₁ = (10 + √16) / 2 = (10 + 4) / 2 = 7

t₂ = (10 - √16) / 2 = (10 - 4) / 2 = 3

• Возвращаемся к замене:

log₃ x = 7 => x₁ = 3⁷ = 2187

log₃ x = 3 => x₂ = 3³ = 27

log₃ x = 7 => x = 3⁷ = 2187

log₃ x = 3 => x = 3³ = 27

Проверим корни:

log₃ x = 7 => x = 3⁷ = 2187

log₃ x = 3 => x = 3³ = 27

ОДЗ: x > 0

Проверка:

x = 2187

log₃² 2187 - 10log₃ 2187 + 21 = 7² - 10*7 + 21 = 49 - 70 + 21 = 0

x = 27

log₃² 27 - 10log₃ 27 + 21 = 3² - 10*3 + 21 = 9 - 30 + 21 = 0

Оба корня подходят.

Ответ: x = 2187, x = 27

Решение №2

б) lg(x² - 2) = -lg(1/x)

• Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство логарифма:

-lg(1/x) = lg(x⁻¹) = lg(x)

• Теперь уравнение имеет вид:

lg(x² - 2) = lg(x)

• Убираем логарифмы:

x² - 2 = x

• Приводим к квадратному уравнению:

x² - x - 2 = 0

• Решаем квадратное уравнение:

D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

x₁ = (1 + √9) / 2 = (1 + 3) / 2 = 2

x₂ = (1 - √9) / 2 = (1 - 3) / 2 = -1

• Проверяем корни:

ОДЗ: x > 0 и x² - 2 > 0

x = 2

lg(2² - 2) = lg(2) и -lg(1/2) = lg(2)

Корень x = 2 подходит.

x = -1

Не подходит, так как x > 0.

Ответ: x = 2

Решение №3

в) (1/3)⁴⁻²ˣ = 9

• Преобразуем обе части уравнения к одному основанию:

(3⁻¹)⁴⁻²ˣ = 3²

3^(2x-4) = 3²

• Убираем основания:

2x - 4 = 2

• Решаем линейное уравнение:

2x = 6

x = 3

Ответ: x = 3